$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Mesure complète

Définition : Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré. On dit que la mesure $\mu$ est complète si, pour tout élément $N\in\mathcal A$ vérifiant $\mu(N)=0$ et pour toute partie $M\subset N$, alors $M\in\mathcal A$
Autrement dit, $\mu$ est complète si tout ensemble négligeable pour $\mu$ appartient à la tribu $\mathcal A$. Remarquons que la terminologie est assez mal adaptée, car la définition précédente est une propriété qui porte à la fois sur la mesure et sur la tribu.

  Étant donné un espace mesuré $(X,\mathcal A,\mu)$, il est toujours possible de le compléter :
Théorème : Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré. Posons $$\mathcal A_\mu=\{A\cup M;\ A\in \mathcal A,\ M\textrm{ est $\mu$-négligeable}\}.$$ Alors :
  • $A_\mu$ est une tribu;
  • On peut étendre la mesure $\mu$ à $\mathcal A_\mu$ en posant $$\mu'(A\cup M)=\mu(A).$$
  • La mesure $\mu'$ ainsi définie sur $(X,\mathcal A_\mu)$ est complète.