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Mesure algébrique

  Soit $D$ une droite munie d'un repère $(O,\vec i)$. Si $M$ et $N$ sont deux points de cette droite, alors la mesure algébrique du vecteur $\overrightarrow{MN}$, notée $\overline{MN}$, est l'unique réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{MN}=\lambda\vec i$.

  Le plus souvent, $\vec i$ est un vecteur unitaire de la droite, et son choix correspond à choisir une orientation de la droite. La mesure algébrique $\overline{MN}$ est alors égale à la longueur $MN$ lorsque le vecteur $\overrightarrow{MN}$ a même sens que $\vec i$. Dans le cas contraire, $\overline{MN}$ est alors égale à l'opposée de la longueur $MN$ (on dit souvent que la mesure algébrique est égale à la longueur avec un signe).

  La formulation d'un certain nombre de théorèmes (comme le théorème de Thalès) peut faire intervenir de façon naturelle le quotient de deux mesures algébriques, sans qu'il soit naturel de choisir une orientation des droites. Par exemple, si $A,B,C$ sont alignés, on peut alors être amené à avoir à calculer le quotient $$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}.$$ Il n'est alors plus nécessaire de choisir un vecteur de référence sur la droite $(AB)$. Si $A\neq C$, ce quotient est défini comme l'unique réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{AC}$.