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Mesolabe d'Eratosthène

  Pour les Grecs, l'un des problèmes les plus importants était la duplication du cube, c'est-à-dire, étant donné un cube, fabriquer un cube de volume double. Autrement dit, si l'arête du premier cube mesure c, et celle du second C, il faut que C3=2c3. Le mésolabe d'Eratosthène est un instrument permettant une telle construction (approchée), à l'aide de l'insertion de moyennes proportionnelles. Soit en effet la figure suivante :
  AB est le côté du premier cube. GHJK est un rectangle tel que GH vaut le double de AB. On insère entre A et G deux points C et E. On construit alors le triangle rectangle EHE1 comme sur la figure, puis on translate ce triangle en C et en A. On note F le point d'intersection de l'hypoténuse du triangle issu de C avec EE1, puis D le point d'intersection de l'hypoténuse du triangle issu de A avec CC1. Supposons maintenant que l'on ait réussi à disposer les points C et E de sorte que l'on soit dans la configuration particulière suivante, c'est-à-dire que H,F,D,K et B soient alignés.
Le théorème de Thalès, appliqué dans le triangle CDK donne
AB/CD=KA/KC.
D'autre part, toujours d'après le théorème de Thalès, mais cette fois dans le triangle KCF, on a
KA/KC=KD/KF.
Une dernière application du théorème de Thalès dans le triangle KEF donne
KD/KF=CD/EF.
Ainsi, on a prouvé que
AB/CD=CD/EF.
Exactement de la même façon, on montre l'égalité
CD/EF=EF/GH.
Ainsi, on a
AB/CD=CD/EF=EF/GH
ce qui implique
(AB/CD)3=AB/GH
Maintenant, puisqu'on a AB/GH=1/2, on a CD3=2AB3, et on a réalisé la duplication du cube! Le problème maintenant est de réussir à aligner les points H,F,D,B et K. Dans le mésolabe, les points C et E sont mobiles, et il faut réussir à tout aligner. Essayez donc avec la figure suivante, et vous verrez que ce n'est pas si facile!


L'idéal pour les grecs aurait été de réussir la duplication du cube à partir de la règle et du compas, qui seul sont les instruments qui permettent une construction juste. Hélas, ils n'y parvinrent pas, et pour cause! On sait depuis le XIXè siècle qu'il s'agit là d'un problème impossible!
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