$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Fonctions méromorphes et singularités

  Soit une fonction F holomorphe en tout point d'un ouvert U, sauf peut-être en w. On distingue les circonstances suivantes :
  1. F est bornée au voisinage de w : on dit que F présente une fausse singularité (ou singularité éliminable) en w, car dans ce cas F peut être prolongée en une fonction holomorphe en w. C'est le cas de F(z)=sin z/z au point 0.
  2. Quand z tend vers w, |F(z)| tend vers l'infini. On dit que w est un pôle de F. C'est le cas de F(z)=1/(z2-1) aux points +1 et -1.
  3. |F(z)| n'est pas borné au voisinage de w, mais ne tend pas vers l'infini si z tend vers w : on dit que w est point singulier essentiel pour F. Par exemple, 0 est point singulier essentiel de F(z)=cos(1/z). Dans ce cas, l'image par $F$ de tout voisinagé épointé de $w$ est dense dans $\mathbb C$ (le grand théorème de Picard précise même encore plus le comportement au voisinage d'une singularité essentielle).
  Une fonction $F$ est dite méromorphe dans un ouvert $U$ si elle est holomorphe dans $U\backslash S$, où $S$ est un ensemble discret et fermé dans $S$, tel que chaque point de $S$ est un pôle pour $F$.

   Il existe une définition générale des points singuliers d'une fonction holomorphe : si F est une fonction holomorphe dans un ouvert U, et si w est un point sur la frontière de U, on dit que :
  • w est un point régulier pour F s'il existe un voisinage V de w, une fonction holomorphe G dans V, tels que F et G coïncident dans l'intersection de U et V.
  • w est un point singulier pour F dans tous les autres cas.
La frontière de U est une coupure pour F si tous les points de cette frontière sont singuliers pour F : on ne peut pas prolonger F au-delà de U.
Consulter aussi...