$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Maximum de Vraisemblance

  Méthode statistique pour déterminer un paramètre inconnu, en maximisant une probabilité.

Ex : Comment déterminer le nombre de poissons d'un étang?

  Votre ami Pierrot vient d'acheter un étang, et il aimerait bien savoir le nombre N de poissons qui y vivent. Il organise une première pêche, et ramène r poissons. Il marque ces poissons, puis les relâche dans l'étang. Il organise une seconde pêche, et ramène n poissons, dont k sont marqués.
  Dans un bassin où il y a N poissons, dont r sont marqués, la probabilité quand on en pêche (simultanément) n d'en trouver k qui sont marqués est :
(un tirage simultanée de n boules suit une loi hypergéométrique).
  Pour estimer N, on cherche la valeur de N pour laquelle PN est maximal : c'est l'estimation par le maximum de vraisemblance. Or :
Ce rapport est supérieur à 1 si NK<nr, et est inférieur à 1 si Nk>nr. La valeur la plus grande de PN est donc obtenue pour , où [x] désigne la partie entière de x.

Application numérique :

  On se propose de vérifier a posteriori cette estimation par le maximum de vraisemblance. Dans l'étang numérique suivant, il y a 1000 poissons (virtuels). On organise deux pêches. A vous de vérifier si l'estimation donnée par le maximum de vraisemblance donne un résultat proche de 1000.
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