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Bibm@th.net
Bibm@th
Maximum de Vraisemblance
Méthode statistique pour déterminer un paramètre inconnu, en maximisant une probabilité.
Ex : Comment déterminer le nombre de poissons d'un étang?
Votre ami Pierrot vient d'acheter un étang, et il aimerait bien savoir le nombre N de poissons qui y vivent. Il organise une première pêche, et ramène r poissons. Il marque ces poissons, puis les relâche dans l'étang. Il organise une seconde pêche, et ramène n poissons, dont k sont marqués.
Dans un bassin où il y a N poissons, dont r sont marqués, la probabilité quand on en pêche (simultanément) n d'en trouver k qui sont marqués est :
(un tirage simultanée de n boules suit une loi hypergéométrique).
Pour estimer N, on cherche la valeur de N pour laquelle PN est maximal : c'est l'estimation par le maximum de vraisemblance. Or :
Ce rapport est supérieur à 1 si NK<nr, et est inférieur à 1 si Nk>nr. La valeur la plus grande de PN est donc obtenue pour 
, où [x] désigne la partie entière de x.
Application numérique :
On se propose de vérifier a posteriori cette estimation par le maximum de vraisemblance. Dans l'étang numérique suivant, il y a 1000 poissons (virtuels). On organise deux pêches. A vous de vérifier si l'estimation donnée par le maximum de vraisemblance donne un résultat proche de 1000.
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