Soient E un espace vectoriel de dimension p muni d'une base B=(e₁,...,e_p) et F un espace vectoriel de dimension n muni d'une base B'=(f₁,...,f_n). Soit encore u une application linéaire de E vers F. On appelle matrice de u dans les bases B et B' la matrice à n lignes et p colonnes dont la i-ème colonne est constitué par les coordonnées de u(e_i) dans la base B' :

Formulaire :

• Si X est le vecteur colonne représentant x dans la base B, si Y est le vecteur colonne représentant u(x) dans la base B', et si A est la matrice de u dans les bases B et B', alors Y=AX.
• Soient B₁ et B₂ deux bases de E, et C₁, C₂ deux bases de F. On note
  • A la matrice de u dans les bases B₁ (au départ) et C₁ (à l'arrivée);
  • B la matrice de u dans les bases B₂ (au départ) et C₂ (à l'arrivée);
  • P la matrice de passage de B₁ à B₂;
  • Q la matrice de passage de C₁ à C₂.
    Alors on a la relation : B=Q^-1AP.
• En particuler, si u est un endomorphisme de E dans E, de matrice A dans la base B, de matrice B dans la base B' et si P est la matrice de passage de B à B', alors B=P^-1AP.