Matrice d'une application linéaire

Algèbre -- Algèbre linéaire -- Matrices

  Soient E un espace vectoriel de dimension p muni d'une base B=(e1,...,ep) et F un espace vectoriel de dimension n muni d'une base B'=(f1,...,fn). Soit encore u une application linéaire de E vers F. On appelle matrice de u dans les bases B et B' la matrice à n lignes et p colonnes dont la i-ème colonne est constitué par les coordonnées de u(ei) dans la base B' :

Formulaire :
  • Si X est le vecteur colonne représentant x dans la base B, si Y est le vecteur colonne représentant u(x) dans la base B', et si A est la matrice de u dans les bases B et B', alors Y=AX.
  • Soient B1 et B2 deux bases de E, et C1, C2 deux bases de F. On note
    • A la matrice de u dans les bases B1 (au départ) et C1 (à l'arrivée);
    • B la matrice de u dans les bases B2 (au départ) et C2 (à l'arrivée);
    • P la matrice de passage de B1 à B2;
    • Q la matrice de passage de C1 à C2.
      Alors on a la relation :
    B=Q-1AP.
  • En particuler, si u est un endomorphisme de E dans E, de matrice A dans la base B, de matrice B dans la base B' et si P est la matrice de passage de B à B', alors
    B=P-1AP.


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