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Théorème de Maschke

Le théorème de Maschke est un résultat donnant l'existence d'un supplémentaire stable à un sous-espace stable par tous les éléments d'un groupe fini opérant sur un espace vectoriel. On peut en donner deux formulations, suivant le point de vue où l'on se place (mais il s'agit bien du même résultat!).

Théorème de Maschke en algèbre linéaire
Théorème : Soit $\mathbb K$ un corps de caractéristique nulle, $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie et $G$ un sous-groupe fini de $GL(E)$. On suppose qu'il existe un sous-espace $F$ de $E$ stable par tous les éléments de $G$. Alors il existe un supplémentaire de $F$ stable par tous les éléments de $G$.
Théorème de Maschke en représentation de groupes
Théorème : Soit $G$ un groupe fini et $V$ un $\mathbb K$-espace vectoriel tel que la caractéristique de $\mathbb K$ ne divise par l'ordre de $G$. Alors toute représentation de $G$ sur $V$ est complètement réductible.
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