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Martingales

La martingale des jeux de hasard
  Le terme de martingale est issu de la théorie des jeux, où il désigne une statégie permettant de gagner à coup sûr dans un jeu équitable (comme le pile ou face). Prenons un exemple dû à D'Alembert : on parie x euros sur pile. Si la pièce tombe sur pile, on ramasse 2x euros (soit un gain de x euros), et si elle tombe sur face, on perd tout. A chaque coup, on est libre de se retirer ou de continuer à jouer. Une stratégie gagnante à coup sûr est la suivante :
  • au 1er coup, on mise 1 euro : si on gagne, on se retire (et on empoche 1 euro); sinon, on continue (et on a perdu 1 euro).
  • au 2ème coup, on double la mise, 2 euros : si on gagne, on se retire, et on a gagné 2-1=1 euro. Sinon on continue, on a perdu 2+1=3 euros.
  • au 3ème coup, on double encore la mise, en jouant 4 euros. Si on gagne, on se retire, avec en poche un gain de 4-3=1 euro. Sinon, on continue la partie, et on double au coup suivant la mise, etc...
  Comme pile va bien finir par tomber, on est sûr de finir par gagner 1 euro, à condition d'avoir une fortune infinie! Cela dit, si pile ne sort qu'au 8è tirage, alors on aura déjà misé 1+2+4+8+16+32+64+128=255 euros. Et tout cela pour gagner 1 euro!

  La théorie des martingales modélise en théorie des probabilités le concept de jeu équitable : si à un instant t, on a gagné ou perdu une somme S, on n'a pas plus de chance dans le futur d'augmenter ou de diminuer le gain. Un théorème, dit de la ruine du joueur, affirme que si un joueur a une fortune initiale finie, il n'existe pas de stratégie pour gagner à coup sûr. C'est la ruine du joueur, mais la fortune des casinos!

La martingale mathématique
Défintion : Soint un processus adapté $(X_n,\mathcal F_n)$ tel que $X_n$ est intégrable pour tout entier $n$. On dit que le processus est
  • une martingale si $\forall 0\leq m\leq n,$ $E(X_n|\mathcal F_m)=X_m$ (presque sûrement).
  • une sur-martingale si $\forall 0\leq m\leq n,$ $E(X_n|\mathcal F_m)\leq X_m$ (presque sûrement).
  • une sous-martingale si $\forall 0\leq m\leq n,$ $E(X_n|\mathcal F_m)\geq X_m$ (presque sûrement).
  Si $X_n$ représente la fortune du joueur à l'instant $n$, dire que la suite $(X_n)$ est une martingale signifie que la connaissance des parties passées (c'est-à-dire la connaissance des événements de $\mathcal F_m)$ ne donne pas d'avantages pour les parties à venir.

Exemple : Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes sur $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$, intégrables, et de même moyenne $m$. On note $\mathcal F_n$ la tribu engendrée par $X_1,\dots,X_n$ et $S_n=X_1+\dots+X_n$. Alors :
  • $(S_n,\mathcal F_n)$ est une martingale si $m=0$;
  • $(S_n,\mathcal F_n)$ est une sur-martingale si $m>0$;
  • $(S_n,\mathcal F_n)$ est une sous-martingale si $m<0$;
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