Lunules

Considérons un cercle de diamètre $[AB]$, et un autre arc de cercle ayant $A$ et $B$ pour extrémités. La surface du demi-disque privé de l'arc précédemment tracé s'appelle une lunule.

Trois lunules particulières découvertes par Hippocrate au Vème siècle avant notre ère ont une importance particulière. Détaillons la première. On considère un triangle $ABC$ rectangle isocèle en $C$, et on considère son demi-cercle circonscrit.

Les segments $[AC]$ et $[BC]$ définissent chacun deux "segments de cercle", hachurés en rouge sur la figure ci-dessus. Notons $S_1$ l'aire d'un de ces segments de cercle. Chacun de ces segments de cercle est semblable à la surface tracée en vert, le rapport de similitude valant $AB/AC$. Notons $S_2$ l'aire de cette surface. On a $S_2=\frac{AB^2}{AC^2}S_1$. Soit la lunule jaune, et notons $S$ son aire. $S$ vaut l'aire du demi-cercle moins $S_2$. D'autre part, l'aire du triangle $ABC$ vaut l'aire du demi-cercle moins $2S_1$. Mais, on a avec le théorème de Pythagore : $$2S_1=\frac{AC^2}{AB^2}S_1+\frac{BC^2}{AB^2}S_2=S_2.$$ Ceci démontre que la lunule et le triangle $ABC$ ont la même aire! Cet exemple est très important, car c'est la première fois dans l'histoire des mathématiques qu'on a réussi à quarrer des figures non rectilignes, c'est-à-dire à trouver leur aire.

Hippocrate réussit la même prouesse avec deux autres lunules. Son espoir était de réussir la même chose pour un disque, ce qui hélas est impossible!