$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Courbe de concentration de Lorenz

  La courbe de concentration de Lorenz est un moyen de représenter la fonction de répartition d'une variable aléatoire X. Elle est notamment utilisée en économie pour mesurer les inégalités de possession de richesse (on supposera donc que X représente un certain bien possédé par les individus de la population). Elle est fabriquée de la façon suivante. Soit x une valeur prise par X. On note F(x) la proportion de la population pour laquelle X<x (F est donc la fonction de répartition de X). On note FQ(x) la proportion du bien possédé par ces individus par rapport au bien total. Alors la courbe de Lorenz est la courbe joignant tous les points (F(x),FQ(x)).

  La courbe de Lorenz joint donc toujours le point (0,0) au point (1,1). Elle est située sous le segment joignant ces deux points. Un point de la courbe doit être interprété de la façon suivante : "les 30% les moins riches de la population possèdent 10% de la population totale".


  Si la variable X ne prend qu'une seule valeur (c'est-à-dire que dans ce cas il n'y a pas de différences dans la population), alors la courbe de Lorenz est exactement le segment joignant (0,0) à (1,1) : c'est la ligne d'égalité parfaite. A l'inverse, si X prend les deux valeurs 0 et 1, avec une seule personne possédant 1 et toutes les autres possédant 0 (cas d'inégalité extrême), alors la courbe de Lorenz joint les points (0,0) à (1,0), puis (1,0) à (1,1) : c'est la ligne de parfaite inégalité. De façon générale, plus la courbe "colle" à la ligne de parfaite égalité, plus la société est égalitaire. Le coefficient de Gini permet de quantifier cela.

Ex : Dans une entreprise de 100 personnes, on a relevé les salaires suivants :

1000-12001200-15001500-20002000-30003000-50005000-10000
 50  20  10  8  7  5 

Pour obtenir la courbe de Lorenz, on commence par calculer le bien possédé total. On prend le milieu des classes comme référence.
B=50×1100+20×1350+10×1750+8×2500+7×4000+5×7500
185000
On cherche ensuite les points de la courbe.
  • x=1100, F(x)=0,5  FQ(x)=(50×1100)/185000=0,3
  • x=1250, F(x)=0,7  FQ(x)=(50×1100+20×1350)/185000=0,44
  • x=1750, F(x)=0,8  FQ(x)=0,54
  • x=2500, F(x)=0,88  FQ(x)=0,65
  • x=4000, F(x)=0,95  FQ(x)=0,8
  • x=7500, F(x)=1  FQ(x)=1
On obtient donc la courbe :

La courbe de Lorenz est due à l'économiste américain Max Otto Lorenz (en 1905), qu'il ne faut pas confondre avec le physicien Hendryk Lorentz.
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