$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Loi d'une variable aléatoire

Loi d'une variable aléatoire discrète
Définition : Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb N$. Alors on appelle loi de $X$ la donnée de la suite $(p_n)_{n\in\mathbb N}$ définie par $p_n=P(X=n)$.

Exemple : On lance deux dés bien équilibrés, et on note $X$ le nombre de 6 obtenus. On a $X(\Omega)=\{0,1,2\}$. Déterminer la loi de probabilité de $X$ revient à déterminer $P(X=0)$, $P(X=1)$ et $P(X=2)$. Sur les 36 lancers équiprobables (en distinguant les deux dés), 25 n'amènent aucun 6, 10 en amène 1 et 1 en amène 2. On a donc trouvé que la loi de $X$ est : $$P(X=0)=\frac{25}{36},\ P(X=1)=\frac{10}{36},\ P(X=2)=\frac 1{36}.$$

Loi d'une variable aléatoire - cas général
Définition : Soit $(\Omega,\mathcal A,P)$ un espace probabilisé, et $X$ une variable aléatoire sur $(\Omega,\mathcal A,P)$. On appelle loi de $X$ (ou loi de probabilité de X) la fonction $P_X$ qui à toute partie $I$ de $\mathbb R$ qui peut s'écrire comme réunion dénombrable d'intervalles associe : $$P_X(I)=P(X\in I)=P(\{\omega:\ X(\omega)\in I\}).$$ La fonction $P_X$ est une probabilité sur $\mathbb R$.

Dans la définition précédente, si on connait un peu de théorie de la mesure, on peut prendre pour $I$ n'importe quel borélien de $\mathbb R$.

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