$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Loi de Poisson

Soit $\lambda>0.$ On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda,$ ce que l'on note $X\hookrightarrow \mathcal P(\lambda)$ si :

  1. $X(\Omega)=\mathbb N.$
  2. Pour tout $k\geq 0,$ $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}.$

$X$ admet alors une espérance et une variance $$E(X)=\lambda\textrm{ et }V(X)=\lambda.$$

Signification : La loi de Poisson est la loi des phénomènes rares, de petite probabilité. Par exemple :

  1. Soit $X$ la variable aléatoire du nombre de personnes réservant un billet d'avion pour Berlin le 6 février à 9H30. $X$ suit en théorie une loi binomiale dont l'effectif est très grand - tous les clients potentiels, des millions, et le paramètre $p$ est très petit - la probabilité pour qu'un individu choisi au hasard ait envie de se rendre à Berlin le 6 février par le vol de 9H30. On approxime en général la loi de $X$ par la loi de Poisson de paramètre $np.$
  2. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'appels reçus par un standard téléphonique dans un intervalle de temps $[0,T]$ : la loi de $X$ est une loi de Poisson.
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