$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Loi normale

Loi normale centrée réduite
Définition : On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite, ce que l'on note si elle est continue et admet pour densité :
Une telle variable aléatoire $X$ admet alors une espérance et une variance :
Courbe représentative de la densité :

Si $X$ suit une loi normale centrée réduite, on a donc $$P(X\in [a,b])=\int_a^b \frac1{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}2\right).$$

Ce calcul d'intégrale ne peut en général pas être mené de façon exacte, car on ne connait pas de primitive à la densité $f$. On cherche des valeurs approchées en utilisant une table de la loi normale, ou à l'aide d'un tableur. Les valeurs suivantes sont importantes, normalement pour les problèmes d'intervalle de fluctuation : \begin{eqnarray*} P(-1,96\leq X\leq 1,96)&\equiv& 0,95\\ P(-2,58\leq X\leq 2,58)&\equiv& 0,99 \end{eqnarray*}

Observons que la densité est symétrique par rapport à l'origine. Ceci signifie en particulier que $P(X\geq x)=P(X\leq -x)$.

Cas général
Définition : On dit que X suit la loi normale de paramètres $m$ et $\sigma^2$, que l'on note $\mathcal N(m,\sigma^2)$ si elle est continue et pour densité :
Ceci revient à dire que $\frac{X-m}\sigma$ suit une loi normale centrée réduite $\mathcal N(0,1)$. Remarquons que si $X$ suit une loi $\mathcal N(m,\sigma^2)$, alors $X$ admet alors une espérance et une variance :
Courbe représentative de la densité :

Interprétation :

Par le théorème limite central, ou par sa version simple le théorème de de Moivre Laplace, la loi normale arrive naturellement quand on regarde la distribution "limite" du résultat d'un grand nombre d'expériences identiques réalisées de manière indépendante. C'est pourquoi la loi normale est la loi des phénomènes naturels, ce qui est conforté par l'expérience qui montre qu'un grand nombre de grandeurs physiques suivent une loi normale.

Par exemple, si une usine fabrique des barres métalliques de longueur 2m, la longueur d'une barre donnée n'est jamais exactement 2m. Elle suit une loi normale d'espérance 2, et de variance d'autant plus petite que les tolérances des machines sont faibles.

On remarquera que la loi normale se concentre essentiellement autour de sa moyenne. Par exemple, si $X$ suit une loi normale centrée réduite, la probabilité pour que $X$ soit compris entre -3 et 3 est supérieur à 0,998.

La loi normale porte de nombreux noms différents. Introduite en 1780 par Laplace, popularisée par Gauss en 1809 qui montre que les erreurs de mesures en astronomie fluctuent selon cette loi, reconsidérée par Laplace en 1810 qui montre qu'elle est la loi de nombreux phénomènes naturels en donnant une première version du théorème limite central, on l'appelle parfois loi des erreurs, loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss. C'est le célèbre statisticien Pearson qui la nomma loi normale dans un article de 1893 pour éviter tout conflit de paternité. Il le regretta plus tard, allant jusqu'à dire :
Cela a l'inconvénient de laisser croire aux gens que les autres distributions sont d'une façon ou d'une autre anormales.
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