Loi de Maxwell

Une variable aléatoire $X$ suit la loi de Maxwell si elle admet pour densité : $$f(x)= \left\{\begin{array}{ll} \sqrt{\frac 2\pi}x^2e^{-x^2/2}&\textrm{si }x\geq 0\\ 0&\textrm{sinon.} \end{array}\right.$$ Une variable aléatoire $X$ suivant une loi de Maxwell admet alors une espérance et une variance qui valent : $$E(X)=\sqrt{\frac 8\pi}\textrm{ et }V(X)=\frac{3\pi-8}{\pi}.$$

Courbe représentative de la densité :

Exemple : Si $Y_1,$ $Y_2$ et $Y_3$ sont 3 variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi normale centrée réduite, et si $X$ est la variable aléatoire $$X=\sqrt{Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2},$$ alors $X$ suit une loi de Maxwell. La loi de Maxwell est donc la loi de la distance à l'origine d'un point aléatoire de l'espace dont les coordonnées sont trois variables aléatoires qui suivent des lois normales centrées réduites indépendantes. C'est également la loi de la distribution des vitesses des molécules dans un gaz.