$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Loi du logarithme itéré

  Lorsqu'on considère une suite de $n$ lancers de piles ou faces, et qu'on note $S_n$ le nombre de piles obtenus, la loi des grands nombres nous informe sur le comportement de $\frac{S_n}n$ : cette variable aléatoire converge en probabilité (loi faible) et presque sûrement (loi forte) vers 1/2. La loi du logarithme itéré donne des informations supplémentaires sur le comportement de $S_n-\frac n2$.

Théorème : On considère une suite $(X_n)$ de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées admettant une espérance $m$ et une variance $\sigma^2$. Soit $S_n=X_1+\cdots+X_n$ et $$Y_n=\frac{S_n-nm}{\sigma\sqrt n}$$ les variables centrées réduites correspondantes. Alors, presque sûrement, on a: $$\limsup_{n\to+\infty}\left|\frac{Y_n}{\sqrt{2\ln\ln n}}\right|=1.$$
En particulier, si la moyenne est nulle et la variance vaut 1, alors $|S_n|/n$ ne dépassera presque sûrement $\frac{c\sqrt{\ln\ln n}}{\sqrt n}$, où $c>1$, qu'un nombre fini de fois.