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Loi du logarithme itéré

Lorsqu'on considère une suite de $n$ lancers de piles ou faces, et qu'on note $S_n$ le nombre de piles obtenus, la loi des grands nombres nous informe sur le comportement de $\frac{S_n}n$ : cette variable aléatoire converge en probabilité (loi faible) et presque sûrement (loi forte) vers 1/2. Ainsi, $S_n$ se comporte typiquement comme $\frac n2.$ Pour étudier ceci plus finement, on introduit la variable aléatoire $$Y_n=\frac{S_n-\frac n2}{\sigma\sqrt n}.$$ D'après le théorème limite central, on sait que $(Y_n)$ converge en loi vers une variable aléatoire $\mathcal N(0,1).$ En particulier, les valeurs prises par $Y_n$ sont typiquement plutôt petites mais bien sûr, $Y_n$ peut prendre des valeurs arbitrairement grandes. La loi du logarithme itéré donne des informations supplémentaires sur l'ordre de grandeur des fluctuations extrêmes de cette variable aléatoire.

Théorème : On considère une suite $(X_n)$ de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées admettant une espérance $\mu$ et une variance $\sigma^2$. Soit $S_n=X_1+\cdots+X_n$ et $$Y_n=\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt n}$$ les variables centrées réduites correspondantes. Alors, presque sûrement, on a: $$\limsup_{n\to+\infty}\frac{Y_n}{\sqrt{2\ln\ln n}}=1$$ et $$\liminf_{n\to+\infty}\frac{Y_n}{\sqrt{2\ln\ln n}}=-1$$

En particulier, ce théorème dit que, pour tout $\veps>0,$ $S_n$ satisfait presque sûrement $$S_n\leq n\mu+(1+\veps)\sigma\sqrt{2n\ln\ln n}$$ pour tout $n$ suffisamment grand, et également $$S_n\geq n\mu+(1-\veps)\sigma\sqrt{2n\ln\ln n}$$ pour une infinité de valeurs de $n.$

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