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Loi de composition

  Quel que soit le couple de nombres entiers (a,b), on peut lui associer un troisième entier noté a+b qui est la somme de ces 2 entiers. L'addition est ce que l'on appelle une loi de composition interne sur l'ensemble des entiers.
Plus généralement, si E est un ensemble, on appelle loi de composition interne toute fonction f de E×E dans E. Toutefois, en général, au lieu de noter l'image par f(a,b), on préfère souvent une notation du type a*b.

Exemples :
  • L'addition, la multiplication dans les ensembles N,Z,Q,R,C.
  • La réunion, l'intersection dans l'ensemble des parties d'un ensemble.
  • La composée de deux fonction dans l'ensemble des fonctions d'un ensemble dans lui-même.

Contre-exemple : La soustraction n'est pas une loi de composition interne pour l'ensemble des entiers naturels N. En effet, 2-3 ne définit pas un entier naturel, mais un entier relatif.


  Un ensemble muni d'une loi de composition interne est appelé un magma. Il s'agit souvent d'une étape en vue de l'obtention de structures plus abouties, tels que groupe, corps....

  De même, quel que soit un polynôme P à coefficients dans Z, et quel que soit l'entier naturel n, on peut associer le polynôme nP qui est toujours à coefficients dans Z. On vient ici de définir une loi de composition entre deux éléments qui ne sont pas de même nature, c'est pourquoi on parle de loi de composition externe.
Une loi de composition externe définie sur un ensemble E et dont les opérateurs sont à valeur dans un ensemble M est une fonction du produit cartésien M×E dans E.