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Loi de Cauchy

Définition : Une variable aléatoire X suit la loi de Cauchy si elle est absolument continue et admet pour densité :
Courbe représentative de la densité :

Les intégrales qui définissent l'espérance et la variance de cette loi ne convergent pas, de sorte qu'une variable aléatoire de Cauchy ne possède ni espérance, ni variance.

La loi de Cauchy apparait comme la loi d'une variable aléatoire qui est le quotient de deux variables aléatoires normales indépendantes centrées et de même écart-type. Parmi les particularités de cette loi, signalons que l'inverse d'une variable aléatoire qui suit une loi de Cauchy suit une loi de Cauchy identique, et que la moyenne de n variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Cauchy suit elle-même une loi de Cauchy.

Dans les ouvrages de physique, la loi de Cauchy est souvent appelée loi de Lorentz.
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