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Fonction et suite logistique

  On appelle fonction logistique la fonction définie sur [0,1] par f(x)=px(1-x), où p est un paramètre réel. En général, on impose à p d'être compris entre 0 et 4 afin que l'image de f soit contenue dans le segment [0,1].

  Une suite logistique est une suite récurrente définie par u0 appartenant à [0,1], et un+1=f(un), où f est la fonction logistique. Cette suite intervient en dynamique des populations. un représente le rapport entre l'effectif de la population au temps n et l'effectif maximum théorique de la population. La modélisation par la fonction logistique tient compte de deux contraintes : le facteur kx permet de prendre en compte l'accroissement naturel de cette population. Le facteur (1-x) indique lui que si la population est trop nombreuse, les ressources naturelles lui manquent, et elle a tendance à diminuer.

  Bien que la suite logistique semble très simple, elle peut suivant les valeurs de p avoir un comportement très étrange, et même mener au chaos! La figure suivante réalisée sous Geolabo illustre ce fait! Les premiers termes de la suite logistique sont représentés, à partir de la valeur u0=1/2. En choisissant l'option "Modifier", puis en faisant glisser le curseur, vous pouvez modifier la valeur de p. Si p est assez petit, on voit que la suite converge. S'il augmente, les valeurs de la suite se concentrent autour de 2 valeurs limites : une année la population est nombreuse, l'année suivante elle est faible. Pour p proche de 3.5, on a un cycle sur 4 ans. Pour p plus grand, plus rien n'est prévisible!

Cette loi pour décrire l'évolution d'une population peut paraitre simpliste. Elle a été proposée par un mathématicien belge, Paul-François Verhulst, au XIXè siècle, et elle rend assez bien compte de certains phénomènes. Il ne faut pas oublier que plus une équation est difficile, plus son étude sera complexe!
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