Fonctions logarithme
Il existe plusieurs méthodes pour définir la fonction logarithme népérien : à partir de ses propriétés algébriques, comme l'unique primitive de la fonction $1/x$ qui s'annule en $1$,... Nous adoptons ici la présentation adoptée par l'enseignement secondaire français.
La fonction logarithme népérien vérifie les propriétés suivantes :
- Propriétés opératoires : $$\forall a,b>0,\ \forall n\geq 1,\ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\ \ln\left(\frac ab\right)=\ln a-\ln b,$$ $$\ln(a^n)=n\ln a.$$
- La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et pour tout $x>0,$ $(\ln )'(x)=\frac 1x;$
- Sens de variation : la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[;$
- Limites aux bornes : $\lim_{x\to 0}\ln x=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty;$
- Croissance comparée : pour tout $n\geq 1$, $\lim_{n\to+\infty}\frac{(\ln x)^n}{x}=0;$
- Inégalité classique : $\forall x>-1,\ \ln(1+x)\leq x$.
- Courbe représentative :
Si $a>0,$ on appelle logarithme de base $a$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $$\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}.$$ Le logarithme de base 10, ou logarithme décimal, souvent simplement noté $\log,$ est le plus utilisé d'entre tous. Il sert notamment en chimie, pour les calculs de pH.
La notation $\log(x)$ est un peu ambigüe.
Elle sert parfois à désigner le logarithme décimal, et parfois le logarithme népérien
(notamment dans les livres d'origine anglo-saxonne).
Historiquement, c'est la propriété $\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)$ du logarithme qui a conduit
à son introduction par John Napier. Confronté à de multiples calculs issus de problèmes économiques,
et conscient qu'il est plus facile d'additionner que de multiplier des nombres,
il cherchait une fonction permettant de transformer les produits en sommes.
Dans les autres pays, le logarithme népérien porte plutôt le nom de logarithme naturel. Il semble que l'usage de logarithme népérien soit apparu en France au XVIIIè siècle, dans les ouvrages de Nicolas-Louis de Lacaille, l'un des principaux astronomes français du XVIIIè. Dans son ouvrage Leçons élémentaires de mécanique, il écrit : "Le nombre $e$ se présente souvent dans les recherches analytiques ; on le prend pour base d'un système logarithmique, que j'ai appelé Népérien, du nom de Neper, inventeur des logarithmes".
