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Fonctions logarithme,exponentielle,puissance

Logarithme
  Il existe plusieurs méthodes pour définir le couple de fonctions logarithme/exponentielle. La plus moderne est celle utilisant les séries entières. La plus simple utilise la théorie de l'intégration, et c'est celle que nous présentons ici.

Définition : On appelle logarithme (népérien) l'unique primitive de la fonction sur , qui s'annule en 1. On note cette fonction ln.
En particulier,
La fonction logarithme vérifie les propriétés suivantes :
  4. la fonction ln est une bijection de sur R.
  Historiquement, c'est la propriété 1. du logarithme qui a conduit à l'introduction de logarithme par John Napier. Confronté à de multiples calculs issus de problèmes économiques, et conscient qu'il est plus facile d'additionner que de multiplier des nombres, il cherchait une fonction permettant de transformer les produits en sommes.

Définition : On appelle constante de Neper, et on note e, l'unique réel tel que ln e=1.
On a environ e=2.718281828...
Définition : Si a>0, on appelle logarithme de base a la fonction :
Le logarithme de base 10, ou logarithme décimal, souvent simplement noté log, est le plus utilisé d'entre tous. Il sert notamment en chimie, pour les calculs de pH.

La notation log x est un peu ambigue. Elle sert parfois à désigner le logarithme décimal, et parfois le logarithme népérien (notamment dans les livres d'origine anglo-saxonne, ou même les livres universitaires).

Exponentielle
  La fonction ln est une bijection de sur R. Si x est dans , il existe donc un unique y de R tel que ln y =x. Par définition, le nombre y s'appelle exponentielle de x, et se note exp x.

Définition : On appelle fonction exponentielle la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien. La fonction exponentielle est donc définie sur R, à valeurs dans , et vérifie :
partout où cela a un sens.
La fonction exp vérifie les propriétés suivantes :
  1. exp est dérivable sur R, et (exp)'(x)=exp(x).
  2. exp(0)=1.
  3. exp(a+b)=exp(a)×exp(b) et exp(na)=[exp(a)]n.

La fonction exponentielle permet de définir des puissances non entières d'un réel strictement positif :
Définition : Soit a un réel strictement positif, et b un réel. On définit ab, appellé a puissance b, en posant :
b est l'exposant de ab.
En particulier, on retrouve, à l'aide des propriétés du logarithme, les bonnes valeurs pour a2 (=a× a), a1/2 (=racine de a). Les règles de calcul avec des puissances réelles sont les mêmes que lorsqu'on manipule des exposants entiers. Ainsi :
  1. 1b=1.
  2. xb+c=xbxc.
  3. (xy)c=xcyc.
Remarque : les expressions du type ab s'étudient TOUJOURS en revenant à la définition ab=exp(bln a).

Définition : Soit a un réel positif La fonction v, de R dans R, définie par v(x)=ax, s'appelle exponentielle de base a.
Le comportement de l'exponentielle de base a dépend beaucoup de la position de a par rapport à 1. On l'étudie en revenant à : ax=exp(x ln a).

Puissance
Définition : Si b est un nombre réel, on appelle fonction puissance d'exposant b la fonction définie sur par v(x)=xb.
Les fonctions puissances se dérivent très facilement : v est dérivable sur et v'(x)=bxb-1. Le comportement de v dépend d'abord du signe de b, puis de sa position par rapport à 1.

Terminons cet article par une blague de prof de maths : Logarithme et exponentielle sont au resto. Le garçon vient porter la note. Qui la règle??????????????????? Exponentielle, car Logarithme ne paie rien.
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