$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Logarithme intégral

On appelle logarithme intégral la fonction définie sur $]1,+\infty[$ par $$\textrm{Li}(x)=\int_2^x\frac{dt}{\ln(t)}.$$ Cette fonction est équivalente, en l'infini, à $x/\ln(x)$. Elle est très importante en théorie des nombres. Notons $P(x)$ le nombre de nombre premiers inférieurs ou égaux à $x$. Répondant à une conjecture de Legendre et Gauss, Hadamard et De La Vallée Poussin ont prouvé en 1896 que $P(x)$ est équivalent à $x/\ln(x)$ donc à $\textrm{Li}(x)$. De plus, le logarithme intégral apparaît dans le développement asymptotique suivant : $$P(x)=\textrm{Li}(x)+O\left(xe^{-\frac{\sqrt{\ln x}}{15}}\right).$$ Par ailleurs, Littlewood a prouvé que la fonction $P(x)-\textrm{Li}(x)$ change de signe une infinité de fois.

La définition du logarithme intégral peut éventuellement varier d'une constante. Dans les ouvrages américains, on le définit le plus souvent par $$\textrm{Li}(x)=\int_0^x\frac{dt}{\ln(t)}.$$ Cette définition a l'avantage de fonctionner aussi pour $x\in ]0,1[$, mais pour $x>1$, il faut comprendre l'intégrale comme une valeur principale : $$\textrm{Li}(x)=\lim_{\varepsilon\to 0}\left(\int_0^{1-\varepsilon}\frac{dt}{\ln(t)}+\int_{1+\varepsilon}^x\frac{dt}{\ln(t)}\right).$$

Consulter aussi...
Recherche alphabétique
Recherche thématique