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Bibm@th
Logarithme intégral
Définition : On appelle logarithme intégral la fonction définie par
|
Cette fonction est équivalente, en l'infini, en x/ln(x). Elle est très
importante en théorie des nombres. Notons P(x) le nombre de premiers inférieurs ou égaux à x.
Répondant à une conjecture de Legendre et Gauss, Hadamard et De La Vallée Poussin
ont prouvé en 1896 que P(x) est équivalent à x/ln(x). En fait, le logarithme intégral
est une meilleure approximation de P(x), et on a le développement asymptotique suivant :
Par ailleurs, Littlewood a prouvé que la fonction P(x)-Li(x) change de signe une infinité
de fois.
