Fonction localement intégrable
Une fonction $f:\mathbb R\to\mathbb C$ est dite localement intégrable si sa restriction à tout segment $[a,b]$ est intégrable, c'est-à-dire si l'intégrale $\int_a^b |f(t)|dt$ converge pour tout couple de réels $(a,b)$ avec $a<b$. Plus généralement, si $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb R^n,$ une fonction $f:\Omega\to\mathbb C$ est localement intégrable sur $\Omega$ si pour toute partie compacte $K$ de $\Omega$, $f\times \mathbf 1_K$ est intégrable. On note $\mathcal L^1_{\textrm{loc}}(\Omega)$ l'espace vectoriel des fonctions localement intégrables sur $\Omega,$ et $L^1_{\textrm{loc}}(\Omega)$ son quotient par le sous-espace des fonctions nulles presque partout.
Exemples :
- toute fonction mesurable localement bornée (en particulier toute fonction continue) est localement intégrable.
- la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=1/x$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$ n'est pas intégrable en 0. Elle n'est donc pas localement intégrable.
- la fonction $g$ définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=\ln|x|$ si $x\neq 0$ et $g(0)=0$ est localement intégrable. En effet, l'intégrale $\int_a^b |\ln|t||dt$ converge pour tout couple de réels $(a,b)$. C'est clair si $0\notin [a,b]$. D'autre part, on a $$\int_0^b \ln(t)dt=\left[t\ln t-t\right]_0^b=b\ln(b)-b$$ où on a utilisé que $\lim_{t\to 0}t\ln (t)=0$.
- pour tout $p\in [1,+\infty],$ $L^p(\Omega)\subset L^1_{\textrm{loc}}(\Omega).$
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