$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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$$
Bibm@th
Fonction localement intégrable
Une fonction $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est dite localement intégrable si sa restriction à tout segment $[a,b]$ est intégrable,
c'est-à-dire si l'intégrale $\int_a^b |f(t)|dt$ converge pour tout couple de réels $(a,b)$ avec $a<b$.
Exemples :
- toute fonction continue est localement intégrable.
- la fonction $f$ définie par $f(x)=1/x$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$ n'est pas intégrable en 0. Elle n'est donc pas localement intégrable.
- la fonction $g$ définie par $g(x)=\ln|x|$ si $x\neq 0$ et $g(0)=0$ est localement intégrable. En effet, l'intégrale
$\int_a^b |\ln|t||dt$ converge pour tout couple de réels $(a,b)$. C'est clair si $0\notin [a,b]$. D'autre part, on a
$$\int_0^b \ln(t)dt=\left[t\ln t-t\right]_0^b=b\ln(b)-b$$
où on a utilisé que $\lim_{t\to 0}t\ln (t)=0$.
Plus généralement, si $f:U\to\mathbb R$ où $U$ est un ouvert de $\mathbb R^n$, $f$ est localement intégrable si sa restriction à tout compact $K$ de $U$
est intégrable.
