$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Fonction localement intégrable

  Une fonction $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est dite localement intégrable si sa restriction à tout segment $[a,b]$ est intégrable, c'est-à-dire si l'intégrale $\int_a^b |f(t)|dt$ converge pour tout couple de réels $(a,b)$ avec $a<b$.

Exemples :
  • toute fonction continue est localement intégrable.
  • la fonction $f$ définie par $f(x)=1/x$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$ n'est pas intégrable en 0. Elle n'est donc pas localement intégrable.
  • la fonction $g$ définie par $g(x)=\ln|x|$ si $x\neq 0$ et $g(0)=0$ est localement intégrable. En effet, l'intégrale $\int_a^b |\ln|t||dt$ converge pour tout couple de réels $(a,b)$. C'est clair si $0\notin [a,b]$. D'autre part, on a $$\int_0^b \ln(t)dt=\left[t\ln t-t\right]_0^b=b\ln(b)-b$$ où on a utilisé que $\lim_{t\to 0}t\ln (t)=0$.
  Plus généralement, si $f:U\to\mathbb R$ où $U$ est un ouvert de $\mathbb R^n$, $f$ est localement intégrable si sa restriction à tout compact $K$ de $U$ est intégrable.