$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Groupe linéaire et spécial linéaire

Si $E$ est un espace vectoriel, le groupe linéaire de $E$, ou groupe général linéaire est l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $E$ qui sont inversibles. C'est un groupe pour la composition des applications linéaires et on le note $GL(E).$

Si $\mathbb K$ est un corps et $n$ un entier supérieur ou égal à $1$, on parle aussi du groupe linéaire d'indice $n$ sur $\mathbb K$ pour désigner l'ensemble des matrices de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ inversibles. Ce groupe est alors noté $GL_n(\mathbb K).$

Le groupe spécial linéaire est le sous-groupe du groupe linéaire constitué des endomorphismes (resp. des matrices) de déterminant exactement égal à 1. Il est noté $SL_n(\mathbb K).$ C'est un sous-groupe distingué de $GL_n(\mathbb K).$

Le groupe linéaire et le groupe spécial linéaire possèdent les propriétés suivantes :

  • le centre de $GL(E)$ est constitué des homothéties $x\mapsto\lambda x$ avec $\lambda\in\mathbb K^*;$ il est donc isomorphe à $\mathbb K^*.$
  • le centre de $SL_n(\mathbb K)$ est isomorphe à $\{\mu\in\mathbb K:\ \mu^n=1\}.$
  • les dilatations et les transvections engendrent $GL_n(\mathbb K),$ et les transvections engendrent $SL_n(\mathbb K).$

Ils possèdent aussi les propriétés topologiques suivantes (on suppose $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et $n\geq 2$) :

  • L’ensemble $SL_n(\mathbb K)$ est une partie fermée, d’intérieur vide, non bornée et connexe par arcs de $\mathcal M_n(\mathbb K).$
  • L’ensemble $GL_n(\mathbb K)$ est une partie ouverte, dense et non bornée de $\mathcal M_n(\mathbb K).$
  • L’ensemble $GL_n(\mathbb C)$ est connexe par arcs.
  • L’ensemble $GL_n(\mathbb R)$ n’est pas connexe. Ses deux composantes connexes sont les ensembles $GL^+_n (\mathbb R)$ et $GL^−_n (\mathbb R)$ où $GL^+_n (\mathbb R) = \{M \in GL_n(\mathbb R) :\ \det(M) > 0\},$ $GL^-_n (\mathbb R) = \{M \in GL_n(\mathbb R) : \det(M) < 0\}.$
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