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Limite supérieure et limite inférieure

  Une suite de réels, même bornée, n'est pas forcément convergente (penser par exemple à un=(-1)n). L'usage des limites supérieures et limite inférieure permet parfois de faire comme si c'était vrai!

Définition : Soit (un) une suite bornée de réels. On pose, pour n entier, la suite vn=sup {uk; k>n}. Alors la suite (vn) est décroissante, minorée, et converge donc vers une limite l. l s'appelle la limite supérieure de la suite (un).

On peut aussi définir la limite inférieure d'une suite bornée, en remplaçant le sup par un inf. La limite supérieure de la suite (un) est la plus grande des valeurs d'adhérence de la suite. En outre, le passage à la limite supérieure (ou inférieure) est compatible avec le respect des inégalités (larges).