$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th
Dictionnaire de mathématiques > Géométrie > Géométrie différentielle >

Algèbre de Lie

  Un champ de vecteurs sur un groupe de Lie G est dit invariant à gauche s'il commute avec les translations à gauche. Précisément, si X est un champ de vecteurs sur G, il est invariant à gauche si pour tous g,x de G, X(g.x)=g.X(x)

  L'ensemble des champs de vecteurs invariant à gauche sur un groupe de Lie G forme une algèbre, appelée algèbre de Lie associée à G. L'étude de cette algèbre apporte beaucoup de lumière sur la structure du groupe de Lie lui-même.

  On peut donner une définition formelle à une algèbre de Lie sans faire référence aux notions de groupe de Lie :


Définition : On appelle algèbre de Lie sur le corps K tout espace vectoriel E sur K muni d'une application bilinéaire (x,y)->[x,y] vérifiant les propriétés suivantes :
  1. Pour tout x de E, [x,x]=0.
  2. Pour tous x,y,z de E, [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.

Par exemple, si E=Mn(K) est l'espace des matrices carrées d'ordre n, E peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie en posant [A,B]=AB-BA.
Consulter aussi...