Algèbre de Lie
Un champ de vecteurs sur un groupe de Lie G est dit invariant à gauche s'il commute avec les translations à gauche. Précisément, si X est un champ de vecteurs sur G, il est invariant à gauche si pour tous g,x de G, X(g.x)=g.X(x) L'ensemble des champs de vecteurs invariant à gauche sur un groupe de Lie G forme une algèbre, appelée algèbre de Lie associée à G. L'étude de cette algèbre apporte beaucoup de lumière sur la structure du groupe de Lie lui-même. On peut donner une définition formelle à une algèbre de Lie sans faire référence aux notions de groupe de Lie :
Définition : On appelle algèbre de Lie sur le corps K tout espace vectoriel E sur K
muni d'une application bilinéaire (x,y)->[x,y] vérifiant les propriétés suivantes :
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