Groupe libre

Le groupe libre sur un ensemble $S$ est le groupe formé par les mots réduits sur l'alphabet $S\cup S^{-1}$, réduit signifiant que l'on n'a pas d'occurrence du type $ss^{-1}$ ou $s^{-1}s$ dans le mot.

Précisément, fixons $S$ un ensemble et posons $S^{-1}$ un ensemble de symboles $\{x^{-1};\ x\in S\}$ ($S^{-1}$ est en réalité n'importe quel ensemble en bijection avec $S$ et disjoint de $S$ dont on a noté les éléments $x^{-1}$ pour $x\in S$). L'ensemble des mots sur $S\cup S^{-1}$ est défini par $$\mathcal M(S)=\{x_1\cdots x_p;\ p\geq 0,\ x_i\in S\cup S^{-1}\}.$$ On peut définir facilement une opération sur $\mathcal M(S)$ : la concaténation qui est définie par $$(s_1\dots s_p)\star (t_1\dots t_q)=s_1\dots s_pt_1\dots t_q.$$ Le mot vide est un élément neutre pour cette opération, mais il faut encore que chaque mot ait un inverse pour avoir une structure de groupe. Pour cela, on doit autoriser les simplifications du type $ss^{-1}$ ou $s^{-1}s$. On appellera la suppression ou l'ajout de $ss^{-1}$ ou $s^{-1}s$ à l'intérieur d'un mot une opération élémentaire. On dit que deux mots $w_1$ et $w_2$ sont équivalents s'il existe une suite finie d'opérations élémentaires pour passer de l'un à l'autre. C'est une relation d'équivalence que nous noterons $\equiv$.

On peut aussi définir le groupe libre à l'aide des mots réduits. Un mot $s_1\dots s_p$ est réduit si on n'a jamais $s_{i+1}=s_i^{-1}$ ou $s_{i+1}^{-1}=s_i$. Le groupe libre est défini comme l'ensemble des mots réduits muni de l'opération de concaténation, mais où on opére les opérations élémentaires de suppression sur le concaténé pour obtenir à nouveau un mot réduit.

Le groupe libre sur $S$ est caractérisé par la propriété universelle suivante :

On voit ici que l'ensemble $S$ joue pour le groupe libre le même rôle qu'un base pour un espace vectoriel. Il suffit de définir un morphisme de groupe sur $S$ pour le connaitre entièrement sur $\mathcal F(S)$.