$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Groupe libre

  Le groupe libre sur un ensemble $S$ est le groupe formé par les mots réduits sur l'alphabet $S\cup S^{-1}$, réduit signifiant que l'on n'a pas d'occurrence du type $ss^{-1}$ ou $s^{-1}s$ dans le mot.

  Précisément, fixons $S$ un ensemble et posons $S^{-1}$ un ensemble de symboles $\{x^{-1};\ x\in S\}$ ($S^{-1}$ est en réalité n'importe quel ensemble en bijection avec $S$ dont on a noté les éléments $x^{-1}$ pour $x\in S$). L'ensemble des mots sur $S\cup S^{-1}$ est défini par $$\mathcal M(S)=\{x_1\cdots x_p;\ p\geq 0,\ x_i\in S\cup S^{-1}\}.$$ On peut définir facilement une opération sur $\mathcal M(S)$ : la concaténation qui est définie par $$(s_1\dots s_p)\star (t_1\dots t_q)=s_1\dots s_pt_1\dots t_q.$$ Le mot vide est un élément neutre pour cette opération, mais il faut encore que chaque mot ait un inverse pour avoir une structure de groupe. Pour cela, on doit autoriser les simplifications du type $ss^{-1}$ ou $s^{-1}s$. On appellera la suppression ou l'ajout de $ss^{-1}$ ou $s^{-1}s$ à l'intérieur d'un mot une opération élémentaire. On dit que deux mots $w_1$ et $w_2$ sont équivalents s'il existe une suite finie d'opérations élémentaires pour passer de l'un à l'autre. C'est une relation d'équivalence que nous noterons $\equiv$.
Théorème et définition : Le produit $\star$ défini ci-dessus munit l'ensemble des classes d'équivalence de $\mathcal M(S)$ pour $\equiv$ d'une structure de groupe qu'on appelle le groupe libre sur l'ensemble $S$ et qu'on note $\mathcal F(S)$.
  On peut aussi définir le groupe libre à l'aide des mots réduits. Un mot $s_1\dots s_p$ est réduit si on n'a jamais $s_{i+1}=s_i^{-1}$ ou $s_{i+1}^{-1}=s_i$. Le groupe libre est défini comme l'ensemble des mots réduits muni de l'opération de concaténation, mais où on opére les opérations élémentaires de suppression sur le concaténé pour obtenir à nouveau un mot réduit.

  Le groupe libre sur $S$ est caractérisé par la propriété universelle suivante :
Théorème : Le groupe libre sur un ensemble $S$ est le groupe $F$ (unique à isomorphisme près) contenant $S$ et caractérisé par la propriété universelle suivante : pour tout groupe $G$ et toute application $f : S → G$, il existe un unique morphisme de groupes de $F$ dans $G$ prolongeant $f$.
On voit ici que l'ensemble $S$ joue pour le groupe libre le même rôle qu'un base pour un espace vectoriel. Il suffit de définir un morphisme de groupe sur $S$ pour le connaitre entièrement sur $\mathcal F(S)$.
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