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Familles dans un espace vectoriel

  On considère dans toute la suite E un espace vectoriel. Soient (V1,...,Vn) une famille de vecteurs de l'espace vectoriel. On dit que la famille (V1,...,Vn) est :
  • liée s'il existe des scalaires x1,...,xn, qui ne sont pas tous nuls, tels que : x1V1+...+xnVn=0.
  • libre si elle n'est pas liée. Autrement dit, la famille (V1,...,Vn) est libre si, dès qu'on a une égalité comme x1V1+...+xnVn=0, alors nécessairement x1=...=xn=0. On dit encore que les vecteurs (V1,...,Vn) sont linéairement indépendants.
  • génératrice si tout vecteur V de l'espace E est une combinaison linéaire des vecteurs V1,...,Vn : il existe des scalaires x1,...,xn tels que V=x1V1+...+xnVn.
  • une base si elle est à la fois une famille libre et génératrice.

Exemples :
  • Dans R3, la famille constituée de V1=(1,0,0) et de V2=(1,1,0) est libre : si x1V1+x2V2=0, on regarde coordonnées par coordonnées, pour trouver que x1+x2=0, et x2=0. Et donc x1=x2=0. En revanche, cette famille n'est pas génératrice : en effet, le vecteur (0,0,1) ne peut pas s'obtenir comme combinaison linéaire de V1 et V2.
  • Dans R3, la famille constituée de V1=(1,0,0), de V2=(1,1,0), de V3=(1,1,1) et de V4=(0,0,1) est liée : on a en effet V3=V2+V4. C'est en revanche une famille génératrice : si (x,y,z) est un vecteur de R3, il se décompose en y V2+(x-y) V1+ z V4.
  • Dans R3, la famille constituée de V1=(1,0,0), de V2=(1,1,0), et de V4=(0,0,1) est une base de R3 : nous venons en effet de prouver que c'est une famille génératrice, et on peut aussi facilement prouver que c'est une famille libre.

  Dans le cas où les familles sont infinies, une famille sera libre si toute sous-famille finie l'est. Une famille est liée si elle n'est pas libre. Une famille est génératrice si tout vecteur de l'espace s'écrit comme combinaison linéaire finie des vecteurs de la famille.