Les polynômes de Legendre sont les polynômes définis par : L_n est en particulier de degré n. Les premiers termes sont : Les polynômes de Legendre sont orthogonaux pour le produit scalaire mais toutefois pas orthonormaux car Comme toute famille de polynômes orthogonaux, les polynômes de Legendre vérifient certaines propriétés:

• ils sont scindés à racines simples dans ]-1,1[ (ce qu'on peut aussi prouver à partir de la définition donnée ici et du théorème de Rolle),
• ils vérifient une relation de récurrence d'ordre 2 : $$(n+1)L_{n+1}-(2n+1)xL_n+nL_{n-1}=0.$$

Par ailleurs, $L_n$ est solution de l'équation différentielle de Legendre : $$(1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0.$$ C'est la seule solution définie au voisinage de 0 qui est continue jusque 1 avec $y(1)=1$.