Polynômes de Legendre

Algèbre -- Polynômes et fractions rationnelles -- Familles de polynômes

Les polynômes de Legendre sont les polynômes définis par :
Ln est en particulier de degré n. Les premiers termes sont :
Les polynômes de Legendre sont orthogonaux pour le produit scalaire
mais toutefois pas orthonormaux car
Comme toute famille de polynômes orthogonaux, les polynômes de Legendre vérifient certaines propriétés:
  • ils sont scindés à racines simples dans ]-1,1[ (ce qu'on peut aussi prouver à partir de la définition donnée ici et du théorème de Rolle),
  • ils vérifient une relation de récurrence d'ordre 2 : $$(n+1)L_{n+1}-(2n+1)xL_n+nL_{n-1}=0.$$
Par ailleurs, $L_n$ est solution de l'équation différentielle de Legendre : $$(1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0.$$ C'est la seule solution définie au voisinage de 0 qui est continue jusque 1 avec $y(1)=1$.
Consulter aussi...

Version imprimable


Pour signaler une erreur, proposer une amélioration, contacter les auteurs, écrivez à
La BibM@th 2000-2014 - V&F Bayart