$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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$$
Bibm@th
Polynômes de Legendre
Les polynômes de Legendre sont les polynômes définis par :
Ln est en particulier de degré n. Les premiers termes sont :
Les polynômes de Legendre sont orthogonaux pour le produit scalaire
mais toutefois pas orthonormaux car
Comme toute famille de polynômes orthogonaux, les polynômes de Legendre vérifient certaines propriétés:
- ils sont scindés à racines simples dans ]-1,1[ (ce qu'on peut aussi prouver à partir de la définition donnée
ici et du théorème de Rolle),
- ils vérifient une relation de récurrence d'ordre 2 :
$$(n+1)L_{n+1}-(2n+1)xL_n+nL_{n-1}=0.$$
Par ailleurs, $L_n$ est solution de l'équation différentielle de Legendre :
$$(1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0.$$
C'est la seule solution définie au voisinage de 0 qui est continue jusque 1 avec $y(1)=1$.
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