Polynômes de Legendre

Algèbre -- Polynômes et fractions rationnelles -- Familles de polynômes

Les polynômes de Legendre sont les polynômes définis par :
Ln est en particulier de degré n. Les premiers termes sont :
Les polynômes de Legendre sont orthogonaux pour le produit scalaire
mais toutefois pas orthonormaux car
Comme toute famille de polynômes orthogonaux, les polynômes de Legendre vérifient certaines propriétés:
  • ils sont scindés à racines simples dans ]-1,1[ (ce qu'on peut aussi prouver à partir de la définition donnée ici et du théorème de Rolle),
  • ils vérifient une relation de récurrence d'ordre 2 :
    (n+1)Ln+1-(2n+1)xLn+nLn-1=0.
Par ailleurs, Ln est solution de l'équation différentielle de Legendre :
(1-x2)y''-2xy'+n(n+1)y=0.
C'est la seule solution définie au voisinage de 0 qui est continue jusque 1 avec y(1)=1.
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