Les polynômes de Legendre sont les polynômes définis par : L_n est en particulier de degré n. Les premiers termes sont : Les polynômes de Legendre sont orthogonaux pour le produit scalaire mais toutefois pas orthonormaux car Comme toute famille de polynômes orthogonaux, les polynômes de Legendre vérifient certaines propriétés:

• ils sont scindés à racines simples dans ]-1,1[ (ce qu'on peut aussi prouver à partir de la définition donnée ici et du théorème de Rolle),
• ils vérifient une relation de récurrence d'ordre 2 : (n+1)L_n+1-(2n+1)xL_n+nL_n-1=0.

Par ailleurs, L_n est solution de l'équation différentielle de Legendre : (1-x²)y''-2xy'+n(n+1)y=0. C'est la seule solution définie au voisinage de 0 qui est continue jusque 1 avec y(1)=1.