Equation de Legendre

L'équation de Legendre est l'équation différentielle : $$(1-x^2)y''-2xy'+\ell(\ell+1)y=0$$ où $\ell$ est un nombre réel. Elle intervient très souvent lors de l'étude de phénomènes physiques comme la conduction de la chaleur, notamment lorsqu'on écrit l'équation $\Delta u=0$ en coordonnées polaires.

Une bonne façon de résoudre cette équation différentielle est de rechercher les solutions développables en séries entières en 0, en écrivant $$y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$$ On obtient alors la formule de récurrence : $$a_{n+2}=\frac{n(n+1)-\ell(\ell+1)}{(n+1)(n+2)}a_n.$$ La solution générale est de la forme \begin{align*} y(x)&=a_0\left(1+\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \frac{(\ell-2n+2)(\ell-2n)\cdots(\ell-2)(\ell+1)(\ell+3)\cdots (\ell+2n-1)} {(2n)!}x^{2n}\right)+\\ &\quad a_1 \left(x+\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \frac{(\ell-2n+1)(\ell-2n-1)\cdots(\ell-1)(\ell+2)(\ell+4)\cdots (\ell+2n)}{(2n+1)!}x^{2n+1}\right). \end{align*} Cette série converge pour $|x|<1.$ Mais du fait du lien entre l'équation et les coordonnées polaires, $x$ représente souvent $\cos(t),$ et on a besoin que $x$ puisse prendre les valeurs $+1$ et $-1.$ Lorsque $\ell$ est entier c'est possible : en effet, si $\ell$ est pair, la série suivant $a_0$ ne comporte que des termes nuls à partir d'un certain rang, et se réduit donc à un polynôme. Si $\ell$ est impair, la même chose se produit pour la série suivant $a_1$. On peut ensuite ajuster $a_0$ ou $a_1$ pour que $y(1)=1.$ On trouve alors la famille des polynômes de Legendre dont les premiers éléments sont donnés par : \begin{align*} L_0(x)&=1\\ L_1(x)&=x\\ L_2(x)&=\frac 12(3x^2-1)\\ L_3(x)&=\frac12(5x^3-3x)\\ L_4(x)&=\frac 18(35x^4-30x^2+3)\\ L_5(x)&=\frac 18(63x^5-70x^3+15x) \end{align*} $L_n$ est alors l'unique solution $y$ de l'équation différentielle avec $\ell=n$ définie en $1$ et $-1$ et satisfaisant $y(1)=1.$