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Equation de Legendre

  L'équation de Legendre est l'équation différentielle :
(1-x2)y''-2xy'+l(l+1)y=0,
où l est un nombre réel. Elle intervient très souvent lors de l'étude de phénomènes physiques comme la conduction de la chaleur, notamment lorsqu'on écrit l'équation en coordonnées polaires.

  Une bonne façon de résoudre cette équation différentielle est de rechercher les solutions développables en séries entières en 0, en écrivant
On obtient alors la formule de récurrence :
La solution générale est de la forme :
Cette série converge pour |x|<1. Mais du fait du lien entre l'équation et les coordonnées polaires, x représente souvent cos(t), et on a besoin que x puisse prendre les valeurs +1 et -1. Lorsque l est entier c'est possible : en effet, si l est pair, la série suivant a0 ne comporte que des termes nuls à partir d'un certain rang, et se réduit donc à un polynôme. Si l est impair, la même chose se produit pour la série suivant a1. On peut ensuite ajuster a0 ou a1 pour que y(1)=1. On trouve alors la famille des polynômes de Legendre dont les premiers éléments sont donnés par :
Ln est donc l'unique solution y de l'équation différentielle (avec l=n) définie en 1 et -1 et satisfaisant y(1)=1.
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