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Espaces de Lebesgue

Les espaces de Lebesgue sont des espaces fondamentaux en théorie de l'intégration. Soit $(X,\mathcal B,m)$ un espace mesuré et $p\geq 1$ un réel. On appelle espace de Lebesgue $\mathcal L^p(X)$ l'ensemble des fonctions $f:X\to\mathbb C$ qui sont mesurables et qui vérifient $$\int_X |f|^p dm<+\infty.$$ L'espace vectoriel $\mathcal L^p(X)$ est muni de la semi-norme $$\|f\|^p=\left(\int_X |f|^p dm\right)^{1/p}.$$ Ce n'est en général pas une norme. Par exemple, si $(X,\mathcal B,m)$ est $\mathbb R$ muni de la tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue, la fonction valant $1$ en un point $x_0$ et nulle ailleurs a une norme égale à $0$ sans être identiquement nulle. Pour faire de $\mathcal L^p(X)$ un espace normé, il faut identifier les fonctions qui sont égales presque partout: l'ensemble des classes d'équivalence modulo cette relation est noté $L^p(X).$ C'est un espace de Banach pour la norme précédente.

Le cas $p=+\infty$ est un peu spécial. $\mathcal L^\infty(X)$ est défini comme l'ensemble des fonctions $f:X\to\mathbb C$ mesurables telles qu'il existe un réel $C>0$ avec $|f|\leq C$ $m$-presque partout. On le munit de la semi-norme $$\|f\|_\infty=\inf\{C>0:\ |f|\leq C\ \ m\textrm{-presque partout}\}.$$ Comme précédemment, l'ensemble des classes d'équivalence de cet espace pour la relation d'égalité presque partout forme un espace de Banach, noté $L^\infty(X).$

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