Intégrale de Lebesgue

Analyse -- Intégration

  Il est difficile de décrire en quelques mots ce qu'est l'intégrale de Lebesgue, une construction de cette intégrale étant encore de nos jours du domaine du cours de licence. Donnons cependant une idée des différences entre l'intégrale de Lebesgue, et celle de Riemann et de Cauchy :
  • L'intégrale de Lebesgue est fondée non sur les fonctions continues par morceaux, ou sur les fonctions réglées, mais sur la classe beaucoup plus large des fonctions mesurables. Cela a notamment les deux avantages suivants :
    1. Le champ des fonctions dont on va pouvoir calculer l'intégrale va être considérablement élargi. Des fonctions très discontinues (comme par exemple la fonction caractéristique de Q) vont être intégrables.
    2. Il existe des mesures sur d'autres espaces que les intervalles de R. Il ne va pas être plus compliqué de définir la théorie des fonctions intégrables sur ces espaces que sur un intervalle de R. En particulier, il n'est pas plus difficile de définir l'intégrale d'une fonction à plusieurs variables que d'une fonction à une seule variable.
  • Lebesgue ne subdivise pas l'intervalle d'intégration J, mais son image f(J). Comme conséquence indirecte de cela, on va trouver des théorèmes de passage à la limite sous l'intégrale très puissants et très commodes à utiliser.
  L'intégrale de Lebesgue est vraiment un outil majeur de l'analyse moderne (on dit parfois, une de ses réussites). Elle a permis de nombreux progrès, notamment en analyse de Fourier. Un des problèmes de l'enseignement actuel est d'essayer de l'enseigner le plus tôt possible, afin de mettre ce formidable outil à la disposition de tous les scientifiques, notamment des physiciens.

Pour en savoir plus, on pourra lire l'article consacré aux mesures

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