$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Série de Laurent

Soit V une couronne ouverte dans le plan :
V={z de C; r1<|z-a|<r2}
Soit f une fonction hlomorphe dans V. Pour r>0, C(a,r) désigne le cercle de centre a est de rayon r>0. Pour n dans Z, il découle du théorème de Cauchy que l'intégrale
est indépendante de r dans ]r1,r2[. On définit alors le n-ième coefficient de Laurent de f au point a par la formule :
La série s'appelle série de Laurent de f au point a.
Théorème : Si f est holomorphe dans la couronne V, alors pour tout point z de V, f est somme de sa série de Laurent en z.
Cette convergence est uniforme sur tout compact de V.

  Une des applications des séries de Laurent est la caractérisation des points singuliers : si f est holomorphe dans un ouvert U, sauf en a, et si est la série de Laurent de f en a, alors :
  • cn=0 pour tout n<0 si, et seulement si, a est une singularité éliminable pour f.
  • c-m est non nul, mais cn est nul si n<-m : a est alors un pôle de f, et m est sa multiplicité.
  • cn est non nul pour une infinité de n négatifs : a est alors un point singulier essentiel.
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