$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Série de Laurent

Soit $V$ une couronne ouverte dans le plan : $$V=\left\{z\in\mathbb C:\ r_1<|z-a|<r_2\right\},\ \textrm{avec }0<r_1<r_2.$$ Soit $f$ une fonction holomorphe dans $V$. Pour $r>0$, $C(a,r)$ désigne le cercle de centre $a$ est de rayon $r$. Pour $n$ dans $\mathbb Z$, il découle du théorème de Cauchy que l'intégrale $$\int_{C(a,r)}\frac{f(\xi)}{(\xi-a)^{n+1}}d\xi$$ est indépendante de $r$ dans $]r_1,r_2[$. On définit alors le $n$-ième coefficient de Laurent de $f$ au point $a$ par la formule : $$c_n=\frac1{2\pi i}\int_{C(a,r)}\frac{f(\xi)}{(\xi-a)^{n+1}}d\xi=r^{-n}\int_0^{2\pi}f(a+re^{i\theta})e^{-in\theta}\frac{d\theta}{2\pi}.$$ La série $f(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_n (z-a)^n$ s'appelle série de Laurent de $f$ au point $a$.

Théorème : Si $f$ est holomorphe dans la couronne $V$, alors pour tout point $z$ de $V$, $f$ est somme de sa série de Laurent en $z$. $$f(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_n (z-a)^n.$$ Cette convergence est uniforme sur tout compact de $V$.

Une des applications des séries de Laurent est la caractérisation des points singuliers : si $f$ est holomorphe dans un ouvert $U$, sauf en $a$, et si $f(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_n (z-a)^n$ est la série de Laurent de $f$ en $a$, alors :

  • $c_n=0$ pour tout $n<0$ si, et seulement si, $a$ est une singularité éliminable pour $f$.
  • il existe $m\geq 1$ tel que $c_{-m}\neq 0$ est non nul, mais $c_n=0$ si $n<-m $: $a$ est alors un pôle de $f$, et $m$ est sa multiplicité.
  • $c_n\neq 0$ pour une infinité de $n$ négatifs : $a$ est alors un point singulier essentiel.
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