Laplacien

Si $f$ est une fonction de classe $C^2$ définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^n$, on appelle laplacien de $f$ la fonction :

"Physiquement", le laplacien mesure la différence entre la valeur de la fonction en un point, et sa moyenne autour de ce point. Les fonctions dont le laplacien est nul sont dites harmoniques : la moyenne autour d'un point vaut la valeur en ce point.

Dans $\mathbb R^2$, on utilise souvent l'expression du laplacien en coordonnées polaires :

La première apparition du laplacien apparait dans un mémoire de Laplace sur l'attraction des sphéroïdes en 1782, sous une forme compliquée due au système de coordonnées polaires qu'il utilisait. Mais il reconnait son importance : "Nous verrons toute la théorie des attractions des sphéroïdes très peu différents de la sphère découler de cette équation fondamentale".