$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Transformée de Laplace

Définition :Si f est une fonction (localement intégrable), définie sur , on appelle transformée de Laplace de f la fonction :
En général, la convergence de l'intégrale n'est pas assurée pour tout z. On appelle abscisse de convergence absolue de la transformée de Laplace le réel :
Eventuellement, on peut avoir . On montre alors que, si , l'intégrale converge absolument. est alors une fonction définie, et même holomorphe, dans le demi-plan .

Transformées de Laplace usuelles :

Règles de calcul :
  Soit f (resp. g) une fonction, F (resp. G) sa transformée de Laplace, d'abscisse de convergence (resp. ).

Propriétés :
  Sous réserve de certaines conditions sur la fonction f, on a :

Inversion de la transformée de Laplace :
  Pour inverser la transformée de Laplace, on utilise en général les tables et les règles précédentes, en lisant de droite à gauche. Par exemple, pour le calcul de l'inverse de la transformée de Laplace d'une fraction rationnelle, on décompose en éléments simples, et on cherche dans les tables.

  On dispose aussi du théorème suivant pour inverser la transformée de Laplace.

Théorème (formule d'inversion de Bromvitch) : Soit F(z)=F(x+iy), analytique pour x>x0, une fonction sommable en y, pour tout x>x0. Alors F est une transformée de Laplace, dont l'original est donné par :
Cette dernière intégrale se calcule souvent en utilisant le théorème des résidus.

Application de la transformée de Laplace à la résolution d'équations différentielles :
  Soit à résoudre, pour t>0,
avec f'(0)=f''(0)=f(3)(0)=0. On suppose que f admet une transformée de Laplace F, et on prend la transformée de Laplace de l'équation précedente :
L'equation différentielle en f se transforme en équation algébrique en F. On résout cette équation pour en déduire F(z), et retrouver f par transformée de Laplace inverse! (ce qui n'est pas forcément simple).

La transformation de Laplace a été introduite par le marquis Pierre Simon de Laplace en 1812, dans son ouvrage Théorie analytique des probabilités, afin de caractériser diverses lois de probabilités.

Source de l'article : Mathématiques pour la Physique, tome 2, Benoist-Gueutal et Courbage, Eyrolles.



Consulter aussi...