$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Croissance comparée de fonctions

  Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $[a,b[$, $b$ pouvant être réel ou alors $+\infty$. On dit que $f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $b$ s'il existe une fonction $h:[a,b[\to\mathbb R$, de limite $0$ en $b$ et telle que, pour tout $x\in[a,b[$, $$f(x)=g(x)\times\big(1+h(x)\big).$$ On note alors $f\sim_b g$. Lorsque la fonction $g$ ne s'annule pas, dire que $f$ et $g$ sont équivalentes signifie que le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ tend vers $1$ lorsque $x$ tend vers $b$.

Exemple : les fonctions sin x et x sont équivalentes en 0, $\sin x\sim_0 x.$

  On dit que $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $b$ s'il existe une fonction $h:[a,b[\to\mathbb R$, de limite 0 en $b$ et telle que, pour tout $x\in[a,b[$, $$f(x)=g(x)\times h(x).$$ On note $f<<_bg$, ou encore $f=_bo(g)$, ce qui se lit "$f$ est un petit o de $g$". Lorsque la fonction $g$ ne s'annule pas, prouver que $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $b$ revient à démontrer que le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $b$.

Exemple :
  • la fonction $\ln x$ est négligeable devant $x$ au voisinage de $+\infty$.
  • la fonction $x^2$ est négligeable devant $\exp(x)$ au voisinage de $+\infty$.
  • plus généralement, le logarithme népérien est négligeable devant toute puissance positive de $x$ au voisinage de $+\infty$; toute puissance de $x$ est négligeable devant $\exp(x)$ au voisinage de $+\infty$.
  On dit aussi que $f$ est dominée par $g$ au voisinage de $b$ s'il existe une constante $M$ et un réel $\alpha>0$ tels que, pour tout $x\in[b-\alpha,b[$, $$|f(x)|\leq M|g(x)|.$$ On note alors $f=_bO(g)$, ce qui se lit, $f$ est un grand O de $g$.

  En maths, et plus généralement dans les disciplines scientifiques, on a souvent besoin d'étudier la croissance comparée de deux fonctions, c'est-à-dire si l'une est négligeable devant l'autre, si elles sont équivalentes… Par exemple, si $n$ est strictement positif, $\ln x$, $x^n$ et $\exp(x)$ tendent toutes trois vers + si $x$ tend vers +. Mais laquelle croît la plus vite? On peut montrer que : $$\ln x<< x^n<< e^x.$$ Regardez comme cela se lit bien sur le graphe des fonctions!

Les notations $o$ et $O$ portent le nom de notations de Landau. Si Landau les utilisa énormément et contribua ainsi à leur popularisation, il semble qu'en réalité elles soient dues à Bachmann.
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