$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Polynômes de Laguerre

  Les polynômes de Laguerre sont les polynômes définis par : $$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}h_n^{(n)}(x)\textrm{ avec }h_n(x)=x^ne^{-x}.$$ En particulier, $L_n$ est un polynôme de degré $n$, de coefficient dominant $(-1)^n/n!$. Les premiers polynômes de Laguerre sont $$\begin{array}{rcl} L_0(x)&=&1\\ L_1(x)&=&-x+1\\ L_2(x)&=&\frac 12\left(x^2-4x+2\right)\\ L_3(x)&=&\frac 16\left(-x^3+9x^2-18x+6\right). \end{array}$$   Les polynômes de Laguerre forment une famille orthonormale pour le produit scalaire $$\langle f,g\rangle=\int_0^{+\infty}f(t)g(t)e^{-t}dt.$$ Ils vérifient une relation de récurrence d'ordre 2 : $$(n+1)L_{n+1}+(X-2n-1)L_n+nL_{n-1}=0.$$ Par ailleurs, $L_n$ est solution de l'équation différentielle suivante, dite équation de Laguerre : $$xy''+(1-x)y'+ny=0.$$
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