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Bibm@th

Lacet

  Un lacet est un chemin qui est une boucle, c'est-à-dire dont l'origine et l'extrémité sont confondues.
Définition : Soit $X$ un espace topologique. On appelle lacet tracé dans $X$ toute application continue $\gamma:[0,1]\to X$ telle que $\gamma(0)=\gamma(1)$. Un lacet est dit simple si $\gamma(s)=\gamma(t)$ entraine que $s=t$ ou alors $\{s,t\}=\{0,1\}$.
  Les lacets les plus courants sont ceux tracés dans $\mathbb R^2$. Ils correspondent alors à l'idée intuitive d'une courbe fermée. Ils permettent alors de définir la notion de simple connexité d'un ouvert $\mathcal U$ de $\mathbb R^2$. De façon informelle, un ouvert $\mathcal U$ de $\mathbb R^2$ est simplement connexe s'il est connexe (en un seul morceau), et si on peut déformer tout lacet tracé dans $\mathcal U$ en le ramenant simplement en un point, tout en restant tout au long de la déformation dans $\mathcal U$.

  Par exemple, $\mathbb R^2\backslash\{0\}$ n'est pas simplement connexe. En effet, le cercle de centre l'origine et de rayon 1, qui est bien un lacet, ne peut pas être déformé continuement en un point, car il faudrait franchir l'origine!
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