Règle de Kummer
La règle de Kummer est une règle pour tester la convergence des séries à termes positifs.
Théorème : Soient $(u_n)$ et $(a_n)$ deux suites de réels strictement positifs, on note
$$\rho=\lim_{n\to+\infty}\left(a_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-a_{n+1}\right).$$
- si $\rho>0$, alors la série $\sum_n u_n$ converge.
- si $\rho<0$ et si la série $\sum_n \frac1{a_n}$ diverge, alors la série $\sum_n u_n$ diverge.
- si $\rho=0$, alors on ne peut pas conclure.
Cette règle de convergence est la plus générale des règles de convergence usuelle des séries à termes positifs. La règle de Raabe-Duhamel est ainsi un cas particulier obtenu pour $a_n=n$.
Cette règle a été démontrée en 1835 par le mathématicien allemand Ernst Kummer.
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