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Test de Kolmogorov, test de Kolmogorov-Smirnov

Test de Kolmogorov
  Le test de Kolmogorov est un test qui compare la distribution observée d'un échantillon statistique à une distribution théorique. On l'utilise de préférence au test d'adéquation du chi-deux lorsque le caractère observé peut prendre des valeurs continues. Il est basé sur la comparaison des fonctions de répartition.
  • Données : n observations (x1,...,xn) d'une variable aléatoire X.
  • Hypothèse testée : "La fonction de répartition de X, notée F, est égale à F0" avec risque d'erreur a.
  • Déroulement du test :
    1. On ordonne les valeurs observées x1<=x2<...<=xn.
    2. On pose F(x1)=1/n, F(x2)=2/n, ..., F(xn)=1 ce qui définit la fonction de répartition de F en escalier.
    3. On calcule K=sup |F(x)-F0(x)|, par la formule
    4. On lit la valeur critique Dn dans la table de la loi du de Kolmogorov-Smirnov. Si K<Dn, on accepte l'hypothèse, sinon, on la rejette.
Test de Kolmogorov-Smirnov
  Il existe une variante du test précédent, le test de Kolmorov-Smirnov, pour lequel on compare la distribution de deux échantillons statistiques.
  • Données : n observations d'une variable aléatoire X, q observations d'une variable aléatoire Y.
  • Hypothèse testée : "Les fonctions de répartition de X et de Y, notées respectivement FX et FY sont égales" avec risque d'erreur a.
  • Déroulement du test :
    1. On calcule FX et FY comme ci-dessus.
    2. On calcule K=sup |FX(x)-FY(x)|.
    3. On compare avec la valeur critique de la loi du de Kolmogorov-Smirnov : si b est tel que et si , alors on accepte l'hypothèse, sinon on la rejette.
  • Condition de validité : il faut que p et q soient grands, car on approxime la loi de |FX-FY| par la loi limite.
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