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Bouteille de Klein

  Une bouteille de Klein est l'exemple le plus connu de surface sans bord et non orientable (c'est-à-dire qui n'a ni intérieur, ni extérieur). Elle peut être réalisée en collant les deux paires de côté opposé d'un carré, mais en identifiant le haut du côté droit avec le bas du côté gauche, et la partie gauche du côté haut avec la partie droite du côté bas :

  On peut aussi imaginer la construction de la bouteille de Klein à l'aide d'un cylindre : si on recolle naturellement les bords d'un cylindre, on obtient un tore (une sorte de chambre à air). Mais si on les recolle dans la direction opposée, on obtient une bouteille de Klein. La bouteille de Klein est donc pour un cylindre ce qu'un ruban de Möbius est à un rectangle de papier.

  Plus formellement, la bouteille de Klein est l'espace quotient du carré [0,1]×[0,1] où on a identifié les côtés par la relation d'équivalence :

Ce n'est pas la peine de prendre vos ciseaux et votre colle, vous n'arriverez pas à construire la vraie bouteille de Klein! En effet, elle n'existe qu'en dimension 4. Toute immersion en dimension 3 donnera une surface qui s'auto-intersecte, ce que vous ne pouvez réaliser! Voici à quoi ressemble l'immersion classique :

  Il est néanmoins possible de comprendre la structure de la bouteille de Klein assez facilement. Imaginons un individu vivant dans un monde plat, à deux dimensions, et essayons de lui expliquer ce qu'est un noeud. Pour cela, on lui dessine un noeud sur le plan. Il ne voit qu'une courbe qui s'auto-intersecte. On lui explique alors que ce ne sont pas des points d'intersection qu'il voit, mais que la courbe passe au dessus et en dessous. Notre individu est interloqué puisque, vivant dans un monde plat, il ne comprend pas ce qu'est le dessus ni le dessous. Il lui manque une dimension (le haut et le bas) pour comprendre ce qu'est un noeud. Nous rencontrons le même problème lorsque nous essayons de visualiser une bouteille de Klein, puisque nous voyons une surface qui s'auto-intersecte. Il nous manque une 4ème dimension et il faut imaginer qu'aux endroits d'auto-intersection, la bouteille passe dessus et dessous cette quatrième dimension!

Initialement, la bouteille de Klein s'appelait surface de Klein, "Kleinsche Fläche" en allemand. Une erreur d'un traducteur l'a fait connaitre sous le nom de bouteille de Klein, "Kleinsche Flasche". C'est cette terminologie qui s'est imposée, même en Allemagne! Et n'oubliez pas que le pire cauchemar d'un topologue, c'est de boire une bière dans une bouteille de Klein!
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