Théorème de Jordan-Hölder

Algèbre -- Groupes -- Théorie générale

  Une suite de Jordan-Hölder, ou suite de composition d'un groupe G est une suite finie (Gi), pour i allant de 1 à p, de sous-groupes de G avec G0={1}, Gp=G telle que, pour i=0,...,p-1, Gi est distingué dans Gi+1 et le groupe quotient Gi+1/Gi est simple.

  On a "presque" unicité des suites de Jordan-Hölder d'un groupe :
Théorème de Jordan-Hölder : Etant données deux suites (Gi) et (Hi) de Jordan-Hölder d'un groupe fini G, alors elles comportent le même nombre de termes et les groupes quotients Gi+1/Gi et Hi+1/Hi sont isomorphes à l'ordre des termes près.
  Comme on peut également prouver que tout groupe fini possède une suite de composition, le théorème précédent donne une analogie entre la décomposition d'un entier en produits de facteurs premiers et la décomposition d'un groupe fini à l'aide d'une suite de composition, et donc de groupes simples (au sens d'incassables).
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