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Bibm@th

Formule de Jensen

La formule de Jensen est une formule d'analyse complexe qui décrit le comportement du logarithme d'une fonction analytique en fonction des zéros de cette fonction.

Théorème : Soit $f$ une fonction analytique sur une région du plan complexe contenant le disque fermé $\overline{D(0,r)}$ de centre $0$ et de rayon $r$ et $\alpha_{1}$, $\alpha_{2},\ldots,\alpha_{N}$ les zéros de $f$ dans $\overline{D(0,r)}$, comptés avec leur multiplicité. Si $f(0)$ est non nul, alors $$\log|f(0)|=-\sum_{k=1}^N\log\left(\frac{r}{|\alpha_k|}\right)+\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\log|f(re^{\mathrm i\theta})|~\mathrm d\theta.$$
Lorsqu'il démontre cette formule en 1899, le mathématicien danois J. Jensen pense pouvoir l'appliquer pour résoudre l'hypothèse de Riemann. Ce n'est malheureusement pas le cas. Cette formule reste néanmoins très utile dans l'étude des zéros des fonctions holomorphes.
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