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Jauge d'un convexe

Soit C un convexe compact de Rn, tel que 0 appartient à l'intérieur de ce convexe compact. On appelle jauge de ce convexe (ou fonctionnelle de Minkowski du convexe) la fonction j : C->R+ définie par
j est bien définie : en effet, C contient une boule B(0,r) centrée en 0, et donc si est assez grand, on a qui est élément de B(0,r), et a fortiori de C. En outre, on peut prouver que :
  • j(x)=0 si, et seulement si, x=0.
  • j(ax)=aj(x) si a>0.
  • j(x+y)j(x)+j(y).
  • j est une fonction continue, et même lipschitzienne.
  Ainsi, si le convexe est symétrique par rapport à l'origine, la jauge de C définit sur Rn une norme dont la boule unité fermée est ce compact C. Dans le cas général, l'utilisation des jauges permet de démontrer que deux convexes compacts de Rn d'intérieur non vide sont homéomorphes. Par exemple, pour démontrer que C est homéomorphe à la boule unitée de Rn, on utilise la fonction suivante
qui est une bijection bicontinue de C sur la boule unité.
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