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Méthode de Jacobi

  La méthode de Jacobi est une méthode itérative pour résoudre les systèmes linéaires Ax=b, où A est une matrice n×n et x,b sont des vecteurs de Rn. Elle consiste en la manipulation suivante : on décompose A comme A=D-E-F, où D est une matrice diagonale, -E est une matrice triangulaire inférieure, et -F est une matrice triangulaire supérieure.
  On peut alors transformer le système en
On définit ensuite une suite de vecteurs (xk) par la formule
et on espère que la suite (xk) converge vers une solution de Ax=b. Sous de bonnes hypothèses concernant la matrice A, c'est effectivement le cas.
Théorème : Si A est une matrice symétrique définie positive, alors la suite (xk) converge vers l'unique solution de Ax=b.
  Un raffinement de la méthode de Jacobi est la méthode de Gauss-Seidel.
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