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Bibm@th

Matrice jacobienne

Soit $f$ une fonction définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^n$ à valeurs dans $\mathbb R^p$. On peut écrire $f=(f_1,\dots,f_p).$ Soit $a$ un point de $U$ où $f$ est différentiable. La matrice jacobienne de $f$ en $a$ est la matrice à $p$ lignes et à $n$ colonnes donnée par $$\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a)&\dots&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a)\\ \vdots&\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)&\vdots\\ \frac{\partial f_p}{\partial x_1}(a)&\dots&\frac{\partial f_p}{\partial x_n}(a)\\ \end{pmatrix}$$ Dans le cas où $n=p$, le déterminant de la matrice jacobienne s'appelle déterminant jacobien de $f$ en $a$.

La matrice jacobienne est donc la matrice de la différentielle de $f$ en $a$, qui est une application linéaire de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R^p$, dans les bases canoniques de ces 2 espaces. Déterminant et matrice jacobienne interviennent dans de nombreux problèmes concernant l'inversion des fonctions différentiables (théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites) et aussi dans la formule du changement de variables pour les fonctions de plusieurs variables.

Le déterminant jacobien apparait pour la première fois dans un article de Cauchy en 1815. C'est Jacobi qui en fait une étude systématique, d'où ce nom de jacobien donné par Sylvester.
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