$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Théorèmes d'isomorphisme (en théorie des groupes)

En théorie des groupes, les théorèmes d'isomorphisme sont trois résultats qui donnent l'existence d'isomorphismes entre certains groupes.

Premier théorème d'isomorphisme : Soit $G$ et $G'$ deux groupes et $f:G\to G'$ un morphisme de groupes. Alors $f$ induit un isomorphisme $\hat f$ de $G/\ker f$ sur $f(G)$ défini par $\hat f(xH)=f(x)$ où $H$ est le noyau de $f$.
Deuxième théorème d'isomorphisme : Soit $G$ un groupe, $N$ un sous-groupe normal de $G$ et $H$ un sous-groupe de $G$. Alors $H\cap N$ est un sous-groupe normal de $H$ et on a l'isomorphisme $H/(H\cap N)\simeq HN/N$.

Dans l'énoncé précédent, $HN=\{hn:\ h\in H,\ n\in N\}$ est un groupe et $N$ est un sous-groupe normal de $HN$.

Troisième théorème d'isomorphisme : Soit $G$ un groupe, $N$ et $M$ deux sous-groupes normaux de $G$ tels que $M$ est inclus dans $N$. Alors $N/M$ est un sous-groupe normal de $G/M$ et on a l'isomorphisme suivant : $$ ( G / M ) / ( N / M ) \simeq G / N . $$
Consulter aussi...