$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Inversion

  Etant donné un point O (du plan ou de l'espace muni d'une unité de longueur), un réel k non nul, on appelle inversion de pôle O et de puissance k la transformation ponctuelle qui à un point M du plan associe le point M'=f(M) tel que :
  • M' appartient à la droite (OM).
  • Le produit des mesures algébriques de OM et OM' vaut k :
  Voici quelques propriétés des inversions :
  • Une inversion est involutive (ie si M' est l'inverse de M, M est l'inverse de M').
  • Si M' est l'inverse de N, et N' l'inverse de N, alors dès que O,M, et N ne sont pas alignés, M,M',N,N' sont cocycliques.
  • L'image d'une droite est :
    • elle-même si la droite passe par le pôle d'inversion.
    • un cercle passant par le pôle et dont la tangente au cercle en O est parallèle à la droite de départ.
  • L'image d'un cercle est :
    • une droite parallèle à la tangente au cercle en O si le cercle passe par le pôle d'inversion.
    • un cercle homothétique sinon.
  • La composée de deux inversions de même pôle est une homothétie.