$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Intégration numérique

  Si f est une fonction continue sur un intervalle [a,b], bien souvent on ne sait pas calculer une primitive de f. Ainsi, si l'on désire obtenir la valeur de , il faut parfois se contenter d'obtenir une valeur approchée à l'aide d'une méthode d'intégration numérique.

  La plupart des méthodes d'intégration numérique fonctionnent sur le même principe. On commence par couper le gros intervalle [a,b] en N plus petits intervalles [ai,ai+1], avec a1=a et aN+1=b. Puis, pour chaque intervalle [ai,ai+1], on essaie d'approcher . Les moyens les plus simples sont :
  • la méthode des rectangles à gauche : on approche par . Géométriquement, cela signifie qu'on approche l'intégrale de f par l'aire des rectangles hachurés en vert :
  • la méthode des rectangles à droite : on approche par . Géométriquement, cela signifie qu'on approche l'intégrale de f par l'aire des rectangles hachurés en rouge :
  • la méthode du point milieu : on approche par . Géométriquement, cela signifie qu'on approche l'intégrale de f par l'aire des rectangles hachurés en bleu :
  • la méthode des trapèzes: on approche par . Géométriquement, cela signifie qu'on approche l'intégrale de f par l'aire des trapèzes hachurés en marron :
      Sous de bonnes hyothèses sur la fonction f (elle doit être continue dans les 3 premiers cas, C1 dans les 3 suivants), on prouve que ces méthodes d'intégration numérique fonctionnent : quand on augmente le nombre de fois où on coupe le segment [a,b], la valeur de l'intégrale approchée converge vers la vraie valeur de l'intégrale.
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