Intégrales impropres

Analyse -- Intégration

  On sait assez facilement donner un sens à lorsque par exemple f est une fonction continue sur le segment [a,b]. Mais que faire quand la fonction est simplement définie sur l'intervalle ouvert [a,b[, ou si b est infini. Peut-on encore donner un sens à ?

Terminologie
  Soit f:[a,b[->R une fonction. Si la fonction , définie sur [a,b[, admet une limite finie quand x tend vers b, on note cette limite. On dit alors que l'intégrale impropre est convergente. Dans le cas contraire, on dit (par abus) que l'intégrale impropre est divergente.

L'utilisation du symbole ne préjuge pas de l'existence d'une limite. Ce symbole n'a aucun sens tant qu'on n'a pas prouvé la convergence de l'intégrale.

Ex :
  1. Etudier la convergence de . On a :
    et cette quantité tend vers 1 si x tend vers l'infini. L'intégrale impropre est convergente, et l'on a :
  2. Etudier la convergence de . On a :
    et cette quantité tend vers moins l'infini si x tend vers 0. L'intégrale impropre est divergente.

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