$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Intersection - Réunion - Complémentaire

Intersection de deux ensembles

Si $A$ et $B$ sont deux ensembles, on appelle intersection de $A$ et $B$ l'ensemble des éléments communs aux deux ensembles $A$ et $B$.

L'intersection de $A$ et $B$ se note $A\cap B$. Elle vérifie les propriétés suivantes :

  • L'intersection de $A$ et $B$ est égale à l'intersection de $B$ et $A$ : $A\cap B=B\cap A$. On dit que l'intersection est commutative.
  • L'intersection de $A$ et de l'ensemble vide est toujours égale à l'ensemble vide.
  • Si on a 3 ensembles $A,B,C$, on peut faire les intersections dans n'importe quel ordre : $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$. On dit que l'intersection est une opération associative.
Réunion de deux ensembles

Si $A$ et $B$ sont deux ensembles, on appelle réunion de $A$ et $B$ l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$.

La réunion de $A$ et $B$ se note $A\cup B$. Elle vérifie les propriétés suivantes :

  • La réunion de $A$ et $B$ est égale à la réunion de $B$ et $A$ : $A\cup B=B\cup A$. On dit que la réunion est commutative.
  • La réunion de $A$ et de l'ensemble vide est toujours égale à $A$.
  • Si on a 3 ensembles $A,B,C$, on peut faire les réunions dans n'importe quel ordre : $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$. On dit que la réunion est une opération associative.

On peut se demander comment se comporte les opérations de passage à la réunion et de passage à l'intersection l'une vis à vis de l'autre. Tout se passe comme si on remplaçait la réunion par +, et l'intersection par ×. En particulier, l'intersection est distributive par rapport à la réunion : $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$.

Complémentaire d'un ensemble

Si $A$ est une partie de l'ensemble $E$, on appelle complémentaire de $A$ dans $E$ l'ensemble des élements de $E$ qui ne sont pas dans $A$. On note le plus souvent le complémentaire de $A$ par ${}^C A$, et aussi parfois (notamment en probabilités) par $\bar A$.

L'opération de passage au complémentaire vérifie les propriétés suivantes :

  • L'intersection de A et de son complémentaire est vide.
  • La réunion de A et de son complémentaire est l'ensemble E tout entier.
  • Le complémentaire du complémentaire de A est l'ensemble A lui-même.

Enfin, notons qu'il existe des relations entre le passage au complémentaire, la réunion, et l'intersection, connues sous le nom de lois de Morgan.

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